Gespannter Aquifer (Cooper-Jacob 1946)

Die Modellfunktion nach Cooper-Jacob beschreibt die instationäre Absenkung in einem gespannten Aquifer:

s = \frac{Q}{4 πT} ln \frac{2,25 \cdot tT}{r^{2} S}

Es handelt sich um eine Näherungslösung, bei der für die Darstellungen

s → ln t, s → \frac{t}{r^{2}}, s → ln r

die Absenkung linear verläuft, so dass die Messwerte mit einer Regressionsgeraden ausgewertet werden können.

Näherungslösung der Theis-Funktion

Die Cooper-Jacob-Funktion ist eine linearisierte Näherungsfunktion der mathematisch exakten Theis-Funktion

s = \frac{Q}{4 πT} \int_{u}^{\infty} \frac{e^{- x}}{x} dx

mit u = \frac{r^{2} S}{4 tT}

Das Integral wird als Brunnenfunktion (engl. Well-Function) W(u) bezeichnet. Es kann nicht analytisch gelöst werden. Es ist jedoch möglich W(u) durch eine konvergierende Reihenentwicklung zu ersetzten:

W (u) = - 0,5772 - ln u + u - \frac{u^{2}}{2 \cdot 2!} + \frac{u^{3}}{3 \cdot 3!} - \frac{u^{4}}{4 \cdot 4!} + \frac{u^{5}}{5 \cdot 5!} - … + …

Für kleine u kann mit hinreichender Genauigkeit die Reihe nach dem zweiten Term abgebrochen werden, so dass sich die Gleichung vereinfacht:

s = \frac{Q}{4 πT} [- 0,5772 + ln u]

= \frac{Q}{4 πT} [+ ln 0,562 + ln \frac{4 tT}{r^{2} S}]

= \frac{Q}{4 πT} ln \frac{2,25 \cdot tT}{r^{2} S}

Der mathematische Fehler der Näherungslösung kann vernachlässigt werden, wenn

u = \frac{r^{2} S}{4 tT} \leq 0,02

ist. Das heißt, die frühen Messwerte können nicht verwendet werden. Deutlich wird dies in der halblogarithmischen Darstellung, in der die Messwerte für r→∞ oder für t→0 nicht mehr auf einer Geraden liegen und daher auch nicht in Form einer linearen Regression ausgewertet werden können.

Bestimmung von T und S anhand grafischer Verfahren

Die Messwerte werden halblogarithmisch aufgetragen:

s → ln t, s → \frac{t}{r^{2}}, s → ln r

Es wird eine Regressionsgerade durch die Messwerte gelegt. Anhand der Steigung der Geraden wird die Transmissivität bestimmt und anhand des Schnittpunktes mit der Abszisse der Speicherkoeffizient (Tab. 1).

Die Formeln werden exemplarisch für die Darstellung s→ln r hergeleitet. Aus der grafik wird für eine Zeit-Dekade Δs abgelesen. Mit Δs gilt für die Transmissivität.

s_{1} - s_{2} = \frac{Q}{4 πT} ln \frac{2,25 \cdot tT}{{r_{1}}^{2} S} - \frac{Q}{4 πT} ln \frac{2,25 \cdot tT}{{r_{2}}^{2} S}

= \frac{Q}{4 πT} [ln \frac{1}{{r_{1}}^{2}} + ln \frac{2,25 \cdot tT}{S} - ln \frac{1}{{r_{2}}^{2}} - ln \frac{2,25 \cdot tT}{S}]

= \frac{Q}{4 πT} ln \frac{{r_{2}}^{2}}{{r_{1}}^{2}} = \frac{2,3 \cdot Q}{4 πT} \cdot 2 ln \frac{r_{2}}{r_{1}} = \frac{2,3 \cdot Q}{2 πT} lg \frac{r_{2}}{r_{1}}

Δs = \frac{2,3 \cdot Q}{2 πT} \Rightarrow T = \frac{2,3 \cdot Q}{2 πΔs} (für lg \frac{r_{2}}{r_{1}} = 1 bzw. r_{2} = 10 \cdot r_{1})

Der Speicherkoeffizient wird anhand des Schnittpunktes mit der Abszisse (s=0) bestimmt:

s = 0 = ln \frac{2,25 \cdot tT}{r^{2} S} \Rightarrow 1 = \frac{2,25 \cdot tT}{r^{2} S} \Rightarrow S = \frac{2,25 \cdot tT}{r^{2}}

Tab. 1: Bestimmung von T und S für drei grafische Verfahren.

Verfahren	1	2	3
Darstellung	s→lg t	s→lg t/r²	s→lg r
T	$T = \frac{2,3 \cdot Q}{4 πΔs}$	$T = \frac{2,3 \cdot Q}{4 πΔs}$	$T = \frac{2,3 \cdot Q}{2 πΔs}$
Δs für	t₂ = 10 · t₁	(t/r²)₂ = 10 · (t/r²)₁	r₂ = 10 · r₁
S	$S = \frac{2,25 \cdot T}{r^{2}} t_{o}$	$S = 2,25 \cdot T {(\frac{t}{r^{2}})}_{o}$	$S = 2,25 \cdot tT \frac{1}{{r_{o}}^{2}}$
für	s (t_o) = 0	s (t/r²)= 0	s (r) = 0
Bemerkung	Sollte allgemein angewendet werden.	Ungünstig, da häufig der Speicherkoeffizient variiert, so dass die Absenkungskurven der einzelnen Messstellen parallel verschoben sind. Liegen instationäre Absenkungen von mehreren Messstellen vor, dann sollten diese mit Verfahren 1 einzeln ausgewertet werden.	T: Gleiches Verfahren wie nach Dupuit-Thiem. Gültig für stationäre und instationäre Absenkung. S: Es dürfen keine Zuflüsse vorliegen. Somit nur für die instationäre Absenkung gültig.

Bestimmung von T und S anhand mathematischer Verfahren

Die Bestimmung der Parameter erfolgt anhand einer linearen Inversionsrechnung. Es liegt ein inverses Problem vor, weil die Wirkung (s) bekannt ist und die Ursache (T, S) gesucht wird. Der Zusammenhang zwischen Ursache und Wirkung wird duch die lineare Modellfunktion von Cooper-Jacob hergestellt. Lineare Gleichungen können als Linearkombination der Parameter dargestellt werden:

f (t_{i}, T, S) = T \cdot f_{1} (t_{i}) + S \cdot f_{2} (t_{i})

Deutlich wird die Linearität durch Umstellung der Cooper-Jacob-Funktion:

s = \frac{Q}{4 πT} ln \frac{2,25 \cdot tT}{r^{2} S}

= \frac{Q}{4 πT} ln \frac{2,25 \cdot T}{r^{2} S} + \frac{Q}{4 πT} ln t

= \underset{⏟}{\frac{Q}{4 πT}} \cdot ln t + \underset{⏟}{\frac{Q}{4 πT} ln \frac{2,25 \cdot T}{r^{2} S}}

a       b

y = ax + b (für y = s und x = ln t)

Es werden zunächst die Koeffizienten a und b bestimmt, mit denen anschließend die Parameter T und S berechnet werden können. Die Koeffizienten a und b werden so gewählt, dass die Abweichungsquadrate minimal werden. Ein mathematisches Kriterium für die Minimierung der Abweichungsquadrate

q (a, b) = \sum_{i = 1}^{n} {({ax}_{i} + b - y_{i})}^{2} \overset{!}{=} min.

ist die notwendige Bedingung, dass die partiellen Ableitungen Null sind.

\frac{\partial q}{\partial a} = \frac{\partial q}{\partial b} = 0

Durch Bildung der Ableitungen ergibt sich folgendes Gleichungssystem,

\frac{\partial q}{\partial a} = \sum_{i = 1}^{n} 2 (a x_{i} + b - y_{i}) x_{i} = 0

\frac{\partial q}{\partial b} = \sum_{i = 1}^{n} 2 (a x_{i} + b - y_{i}) = 0

das nach den Koeffizienten a und b aufgelöst werden kann:

a = \frac{n \sum x_{i} y_{i} - \sum x_{i} \sum y_{i}}{n \sum {x_{i}}^{2} - {(\sum x_{i})}^{2}}

b = \frac{\sum {x_{i}}^{2} \sum y_{i} - \sum x_{i} y_{i} \sum x_{i}}{n \sum {x_{i}}^{2} - {(\sum x_{i})}^{2}}

Mit den Koeffizienten a und b können T und S bestimmt werden.

a = \frac{Q}{4 πT} \Rightarrow T = \frac{Q}{4 πa}

b = \frac{Q}{4 πT} ln \frac{2,25 \cdot T}{r^{2} S} \Rightarrow S = exp (\frac{\frac{Q}{4 πT} ln \frac{2,25 \cdot T}{r^{2}} - b}{\frac{Q}{4 πT}})

Die Lösung dieser Gleichungen ist rechenintensiv, so dass empfohlen wird, einen Computer einzusetzen.

Die Qualität der rechnerischen Lösung sollte anhand einer halblogarithmischen Darstellung der Messwerte überprüft werden. Allgemein können nur die mittleren Messwerte mit diesem Verfahren ausgewertet werden. Für frühe Zeiten oder große Radien wird die mathematische Näherung ungenau (es muss u < 0,02 gelten) und für späte Zeiten kann die zugrunde liegende Modellannahme (unendlich ausgedehneter gespannter Aquifer) nicht mehr zutreffen.

Beispiel

Fortsetzung folgt …